철학적 사고로 배우는 과학의 원리 16~23p 후기

1) 제1불완전성 정리 

어느 모순이 없는 이론 체계 안에 긍정도 부정도 할 수 없는 증명 불가능한 명제가 반드시 존재한다.

긍정도 부정도 할 수 없는 증명 불가능한 명제라니 이게 도대체 어떤 의미일까?

예를 들어, 만약 어떤 사람이 '나는 거짓말쟁이다'라고 말했다고 하겠습니다. 이 말을 자세히 들여다보면, 진실이라고도, 거짓이라고도 할 수 없는 문장이라는 것을 알 수 있습니다. 왜냐하면 이 문장이 '진실'이라면, '거짓말쟁이가 진실을 말한 것'이 되고, '거짓말'이라면, '정직한 사람이 거짓말을 한 것'이 되기 때문입니다. 한 문장이 '진실'이 아니면서 동시에 '거짓'이 아닐 수 있는 것입니다. 또한 '나는 정직하다'와 같은 문장도 비슷합니다. 이 명제가 '진실'이라면 정직한 사람이 진실을 말한 것이고, '거짓'이라면 거짓말쟁이가 거짓을 말한 것이므로 한 문장이 '진실'이면서 동시에 '거짓'입니다. 이러한 자기 언급의 패러독스가 수학에서도 마찬가지로 발생합니다.

즉, 수학 이론에서 아무리 들여다보아도, 진실인지 거짓인지 증명도 반증도 불가능한 명제가 반드시 포함된다는 것입니다. 그리고 수학 이론에서 증명 불가능한 명제를 포함한다는 것은, 스스로의 체계가 옳다고 증명하는 것이 불가능하다는 결론에 다다릅니다. 

2) 제2불완전성 정리 

어느 이론 체계에 모순이 없다고 해도, 그 이론 체계는 자기 자신에게 모순이 없다는 것을 그 안에서 증명할 수 없다.

두 번째로 생각해 볼 것은 학문에서 '공리'라 불리우는 것입니다. 

공리가 너무나 자명해서 증명이 필요치 않은 명제라면, 유클리드 기하학의 제 5공준인 평행선 공준이 성립하지 않는다고 가정해도 모순이 일어나지 않는 이론 체계를 만들 수 있기 때문입니다. 유클리드의 평행선 공준이 성립하지 않는 상황은 리만, 푸앵카레 등에 의해 구면기하학, 쌍곡기하학 등으로 발전했습니다.

서로 상반된 공리를 가정하여도 모순이 없는 이론 체계를 만들 수 있습니다. 이것은 이론 체계의 '무모순성'이 공리의 '정당성'을 보장하지 않는다는 것을 의미합니다. 게다가 괴델의 불완전성정리는 '모순이 없어 보이는 이론 체계를 구축하여도 그 이론 체계의 모순이 없음을 자기 안에서 증명하는 것은 불가능하다'고 말하고 있습니다.

이것은 우리가 참이라고 약속한 공리 아래에서 다른 명제들의 참, 거짓을 판별할 수는 있지만, 정작 '공리가 옳은지 증명하는 것'은 불가능하는 것을 의미합니다. 우리가 어떤 명제를 '참'이라고 약속하기 전까지는 우리는 그것이 진실인지 거짓인지 알 수 없습니다.

세 번째로 생각해 볼 것은 루이스 캐럴의 패러독스 입니다.

<이상한 나라의 앨리스>의 작가인 루이스캐럴은 작품 안에서 '논리조차 공리에 지나지 않는다'고 서술하고 있는데, 내용은 다음과 같습니다.

전제1 A=B이다.

전제2 B=C이다.

-> 결론 A=C이다.

이것이 왜 패러독스인지 의아합니다. 너무나 당연하게 생각해오던 것이기 때문입니다.

하지만 루이스 캐럴은, '전제1'과 '전제2'에서 '결론 A=C'로 가는 아무런 필연성이 없다고 말하며, 필연성이 없는 상태에서 '결론 A=C'를 도출하기 위해서는 '전제1'과 '전제2'가 올바르다면 A=C가 성립한다'는 약속이 필요하다고 말합니다. 결국 우리가 생각하는 'A=B이고 B=C이면, A=C이다'라는 논리도, 약속이라는 사실입니다.

'A=B이고 B=C이면, A=C' 일 아무 필연성이 없다는 것이, 유클리드가 제1공리로 'A=B, A=C이면 B=C이다', '동일한 것의 같은 것은 서로 같다.'를 채택한 이유이기도 합니다.

토마스 쿤이 말한 "과학혁명은 과학을 진보시켜 주지만, 진리에 다가설 수는 없다." 는 말을 생각해보게 됩니다.

학문의 유용성과 정밀성이 높아질 수 있더라도 진실에 도달하는 일은 불가능하다고 하더라도, 이렇게 학문의 한계를 올바로 알고, 유용함으로 접근할 때 우리는 또 다른 가능성을 볼 수 있게 될 수 있을 것입니다.

by Hakuna