학자들은 그동안 세상의 모든 것을 알기 위한 집념으로 여러 학문들을 만들어내고, 발전시켜서 궁극의 진리에 도달하고자 했다. 하지만 불완전성 정리와 같은 이론들과 뇌 과학, 양자물리학, 양자정보이론 등 첨단 과학 이론을 통해 그 시도에는 절대적 한계가 있음이 드러났다. 하지만 오히려 이런 한계를 발견함으로써 인간이 어떤 틀(한계)을 가지고 우주의 진리에 도달하고자 하는였는지, 궁극적으로 알 수 있는 것과 알 수 없는 것은 무엇인지, 그 속에서 학문의 경계가 의미하는 바가 무엇인지를 인식해, 오히려 학문은 한계적으로 허용된 틀 안에서 최대치를 활용함으로써 더 발전하는 방향으로 나아갔다.

마찬가지로, 한 개인이 어떤 학문의 모든 내용을 아는 것에는 한계가 있기 때문에, 이를 이해하는 '자신만의 사고의 틀'을 인식하고, 발전시켜 학문의 전체 내용을 아우르는 틀에 최대한 가깝게 사고의 틀을 확장시켜나갈 필요가 있다. 학문 속에서 자신의 인식 틀이 지닌 한계점을 알고, 이 속에 담은 내용들이 무엇이고, 담지 못한 내용이 무엇인지 아는 것, 이것이 곧 학문을 공부하는 과정일 것이다. 이렇게 되면 무언가를 학습함에 있어서 자연스럽게 메타인지적인 눈을 갖게 되어 구조적이고, 통합적이며 효율적인 접근이 가능해진다.

어떤 꼭지점이든 세 개만 찍으면 인식의 틀을 우선 형성할 수는 있다. 하지만 가능하다면 그 시작이 되는 꼭지점들을 세계적으로, 그리고 오랜 기간 동안 인증된 책을 통해 시작하는 것이 현명하다. 학문을 보다 원리적으로 구조적으로 학습할 수 있기 때문이다. 물론 처음으로 삼각형을 형성하는 과정에서는 석학들의 사고를 그대로 흡수할 수밖에 없겠지만, 여기에 다른 책과 지식을 더하고, 자기화하는 과정을 더한다면 삼각형을 독창적으로 확장할 수 있을 것이다. 그래서 그 과정을 통해 스스로도 텍스트를 넘어 컨텍스트를 볼 수 있는 사고력을 조금씩 기를 수 있다. 결국은 고등학문을 자기 힘으로 학습할 수 있는 힘을 갖게 되는 것이다. 이것이 '인식 틀'을 갖추는 것의 가장 큰 강점이다.

현재 우리는 BU수업과 팟캐스트를 통해 '학문의 원리와 구조'에 대한 삼각형을 만들어가고 있다. 우선 '철학적 사고로 배우는 과학의 원리', '불완전성 정리 이론', '양자 물리학 주요 내용' 등이 주요 꼭지점을 이뤄 첫 삼각형을 형성했고, 그 안에

* 모든 학문은 공리에서 출발하기 때문에 절대로 진리를 드러낼 수 없다.
* 모든 학문은 다면적인 세계의 한 측면만을 보여줄 뿐이다.
* 도구주의적 관점으로 학문을 볼 필요가 있다.

등의 매우 가치있고, 힘 있는 정보를 담아낼 수 있었다. 여기에 양자정보이론이나 주역과 같은 학문을 더해 삼각형을 넓혀간다면 학문의 원리와 구조를 바라보는 시야가 더 넓고 깊어질 것으로 기대한다.

이 삼각형이 불완전하게나마 우선 장착되고 나니, 다른 책을 읽으면서, 지식 검색을 하면서, 그리고 일상 생활에서 이와 비슷한 맥락이 나오면 자연스레 바로 발견이 됐고, 이를 삼각형 안으로 집어넣을 수 있게 됐다. 이 경험을 통해, 공부와 삶에 있어서 좋은 맥락을 가지고 삼각형을 만드는 것의 중요성을 크게 느꼈다. 그리고, 이렇게 학문 자체의 본성에 대한 것부터 삼각형을 만들어가지 않으면 앞으로 접할 학문들이 매우 고맥락적이고, 압축적이고, 컨텍스트를 통해 접근하지 못하면 그저 조각 모음에 지나지 않을 수 있기 때문에 처음 공부할 때부터 이 작업에 신경써야 한다는 것 또한 느꼈다. 이것이 사람이들이 학문에 더 접근하기 힘들어하는 이유일 것이다.

'학문의 원리와 구조' 뿐만 아니라 앞으로 '철학사', '과학사'에 대해서도 세계적인 석학들의 책을 통해서 틀을 만들어나갈 필요가 있다. 패션 디자이너들은 패션의 역사를 깊이 공부하고, 그 흐름에서 영감을 얻고, 트렌드를 만들어낸다. 이와 마찬가지로 학문을 깊이 공부하기 위해선 '인간이 그동안 어떤 사고를 해왔는지'에 대한 공부가 선행되어야 한다. 따라서 가장 근본적인, 인식론을 기반으로 하는 철학과 과학의 역사를 훑어야 하고, 이걸 인식 틀의 토대로 만들어 많은 지식들을 연결하는 링크 포인트로 만들 수 있어야 한다. 그래야 어떤 사고가 순환해왔는지 그 구조를 알고, 수많은 관점들을 접해 사고 확장에 도움을 줄 수 있다. 아마도 BU수업에서 학문의 원리와 구조에 대한 학습이 끝나면 이 작업을 하지 않을까 싶다.

학문하기 전 사고의 틀을 잡고 이를 인식하며 확장한다는 것이 얼마나 중요한지 이번 수업을 통해, 그리고 실제로 그 작업을 해보면서 정말 크게 실감했다. 그리고 동시에 기존의 교육 기관들은 이 중요한 사실을 왜 '당연하게' 가르쳐주지 않을까, 그리고 심지어 그럴 수 있는 기회를 왜 뺏을까하는 의문이 들었다.

마치 코끼리의 전체적인 모습을 익히는 것이 삼각형 틀을 잡는 것이라고 보면, 다른 내용, 예를 들어 강아지를 처음 접했을 때 자연스레 전체적인 모습을 보려고 하며, '네 발로 다닌다.', '꼬리가 있다' 그리고 '온몸에 털이 있고, 없다' 등 공통점과 차별점을 빠르게 인지하고, 또 그런 데이터가 쌓일수록 더 크게 분류할 수 있고, 특정 구조에 대한 전체적인 인식을 하게 되는데, 코끼리의 다리만 보여주고, 강아지의 귀만 보여주는 식의 학습은 그저 단순한 암기 거리를 제공하는 것에 지나지 않는다. 자연스레 사고력이 늘 수 있는 기회가 없어지며, 학습에 대한 흥미 또한 떨어지게 된다.

책 '생각 기술'에서 저자는 이렇게 말한다.

미스터 폴이 항상 강조하는 대로 나이 상관없이 제대로된 절차와 방법, 그리고 올바른 태도를 통해 학습한다면 누구나 고등학문을 익힐 수 있다. 하지만 교수님들은 그럴 수 있다는 생각조차 하지 못하며, 학문의 본질이 무엇인지 가르쳐주지 않은채 고등학문을 철옹성으로 보게 만들고 있다. 이점은 언젠가 꼭 고쳐져야 한다고 생각한다.

뇌 과학에 따르면 20대까지 뇌의 가역성이 풍부하게 남아있다고 한다. 뇌에 감수성기라는 게 있는데 이 시기에 뇌에 어떤 입력이 있는가에 따라서 그 기능이 어떤 방향으로 발전해나갈지 결정된다. 우리는 이때 고등학문을 올바르게 접할 수 있도록, 그리고 스스로 학습이 가능하도록 균형 잡힌 인식의 틀을 만드는 작업를 꾸준히 해나가야 한다. 최소 3년을 내다보고 말이다. 공부의 '공工'은 '장인 공'자이다. 장인처럼 열심히 틀을 만드는 것! 최적의 조건이 갖추어진 지금! 제대로 공부해서 평생학습할 기반을 닦아놓아야 한다.

by Audrey

'공리'를 알면 학문의 실체가 보인다.
'철학적 사고로 배우는 과학의 원리' 후기

고대 그리스 이래 '수학'이라는 학문은 한 마디로 '완벽한 것', '영원불멸한 것'으로 여겨져 왔다. 사실 엄밀히 말하면 '완벽할 거라 기대하는 것'이라는 표현이 더 정확할지도 모른다. 왜냐하면 수학자들은 자체적으로 완전한 수학을 통해 세상을 설명하고, 그것의 기준들과 방법들을 다른 지식 영역에도 적용하려는 열망이 있었기 때문이다. 하지만 이에 대해 비판적이었던 인식론자들은 이렇게 완벽해 보이는 수학도 어딘가에서부터 출발한 것이고, 그 출발점은 인위적으로 만들어진 규칙에 불과하지 않을까 생각했다. 즉 수학의 확실성을 의심한 것이다.

"수학은 과연 어디서부터 출발하는가?"

"어쩌면 우연적인 요소들이나, 참인지도 확인되지 않은 직관적인 사실들로부터 시작된 것이 아닐까?"

우리의 몸이 단 하나의 세포에서 시작된 것처럼 수학 또한 단 하나의 명제로 시작했다. 그 '공리'가 무엇인지 자세히 들여다보고, 그 실체를 알면 적잖이 놀랄 수 있다. 공리는 참인지 거짓인지 증명할 수 없지만 올바른 것으로 가정하자는 암묵적인 이해를 기반으로 한 '약속'인 것이다. 그저 직관적인 앎을 토대로 '그냥' 자명해 보이니까 공리로 정하자고 한 것이다.

비유클리드 기하학이 만들어진 이후, 수학자들은 위의 사실을 인지하며 유클리드 기하학의 공리가 다른 곳에도 적용이 된 건 순전히 관습 때문이라는 것을 알게 된다. 때문에 자유롭게 (최소한의 기준을 충족시키는) 공리를 선택해 또 다른 수학 이론을 구축해나갈 수 있음을 인식하게 된다.

수학자 힐베르트는 그렇다면, 어떤 공리를 정해 그것을 토대로 새로운 수학 체계를 만들어낼 수 있다면, 공리의 수를 최대한 줄여 직관에 의지하는 것을 최소화하고, 최대한의 확실성을 확보할 수 있는, 모순을 일으키지 않는 명제를 공리로 설정해 완전한 체계를 이룰 수 있을 거라 생각했다.

"'최소한의' 공리, 그리고 '모순이 없는' 공리를 토대로 어떠한 수학적 사실이든 진위를 판정할 수 있는 수학 체계를 발견해보자!" 이것이 바로 힐베르트 계획의 핵심 목표였다.

그는 첫째로 논리적으로 모순이 없고, 둘째로 어떤 것이든 참, 거짓을 판별할 수만 있다면 아무리 이론의 첫 시작이 직관적인 앎에 근거한 약속된 공리여도 온전한 수학 체계를 세울 수 있다고 생각했다. 그래서 힐베르트는 수학적으로 핵심 이슈인 23개의 문제를 제시하고, 앞으로 만들 궁극의 수학 체계로 이 문제들의 참, 거짓을 가리고 풀어가자고 자신 있게 말했다.

과연 힐베르트가 꿈꾸는 완전한 수학 체계란 존재하는 것일까? 이 원대한 꿈은 젊은 수학자이자 논리학자인 괴델에 의해 허망한 꿈으로 전락하게 된다.

당시 23개의 문제 중 첫 번째 문제는 칸토어가 주장한, '자연수와 실수 사이의 무한집합은 없다'는 '연속체가설'이었는데, 괴델은 1940년 이 가설이 현재의 집합론 안에서는 거짓이라고 판정할 수 없음을 증명해 보였다. 게다가 1960년 수학자인 코헨 또한 이 가설이 참이라고 판정할 수 없음을 증명했다. 결국 이 두 발견으로 인해 '연속체가설'이 증명도, 반증도 할 수 없는 가설임이 드러나버린 것이다. 결국 첫 번째 문제부터 어떠한 수학 체계 안에서 그 공리들이 모순을 갖고 있지 않다는 걸 그 체계 안에서는 증명할 수 없음을 밝혀져 힐베르트의 계획은 무산되고 말았다.

괴델은 제1불완전성 정리에서 특정 명제가 진실이든, 거짓이든 모순이 생겨버리는 '자기 언급의 패러독스'가 수학에서도 발견됨을 발견했다.

아무리 적절해 보이는 공리로부터 이론을 구축한다 한들 반드시 참이라고도, 거짓이라고도 할 수 없는 명제를 반드시 포함하게 된다. 정말 그렇다면 애초에 수학은 진위 판명을 할 수 없는, 불완전한 도구였던 것이다. 

제1정리의 내용으로부터 제2정리가 자연스럽게 도출된다. 수학 이론에서 증명 불가능한 명제가 반드시 포함되어 있다는 것은 아래의 사실을 나타낸다.

이건 마치 검은 까마귀만을 여태껏 봐와서 '이 세상에는 검지 않은 까마귀란 존재하지 않는다'라고 감히 말할 수 없는 것과 같다. 당장이라도 흰색 까마귀가 등장하면 어떻게 할 것인가? 모순을 찾지 않았다고 해서 모순이 없다고 확실할 수는 없다. 정리하면, 수학 내부에서 모순이 지금껏 발견되지 않았다는 사실이 수학의 완전성을 결코 보장할 수 없다는 것이다.

이로써 그동안의 수학자들의 깊은 신앙이었던 '인간은 이성을 이용해 어떤 명제든 참인지, 거짓인지 반드시 알아낼 수 있다'는 환상은 산산조각 나게 된다. 인간 이성에 근본적인 한계가 있음을 '수학'이라는 가장 단단해보이는 학문을 대상으로 매우 분명하게 보여준 셈이다. 이게 수학의 기본 틀을 무너뜨려 수학을 붕괴시킨 것이 아닌가 라는 생각을 가질 수도 있지만, 수학의 구조와 한계를 드러내 문제의 본질에 직면함으로써 오히려 더 진보할 수 있는 계기가 되었다.

괴델의 불완전성 정리는 수학 뿐만 아니라 다른 일반적인 학문들에도 적용되는 내용이다. 모든 학문은 공리로부터 출발하기 때문이다. 불완전성 정리를 통해 그동안 학자들이 제대로 보지 못했던 학문의 본질을 마주하게 됐다. 그래서 그들이 얻게 된 결론이 무엇일까? 학문의 완성도는 공리의 참, 거짓 여부가 결정하는 것이 아니며, 특정 공리를 기반으로 논리적으로 모순이 없는 결과들을 도출해낼 수 있다면 그것은 학문이라는 이름을 얻을 수 있게 된다는 것이다.

그렇다면 왜 우리는 학문을 발전시키고, 이론을 끊임없이 만들어내는 것일까? 그것은 바로, 무시할 수 없는 학문의 '유용성' 때문이다. 학문은 절대로 진리를 온전히 담아낼 수 없지만, 일상에서 보편적으로 일어나는 일들에 대해 실험하고, 검증하고 연구해 세상의 현상들을 잘 설명하고 풀이해준다. 우리는 학문을 일종의 도구로 여기고 최대한의 유용성을 뽑아낼 수만 있으면 되는 것이다.

학문을 제대로 하기 전에 이런 인식론적인 공부가 선행되야 학문의 타당성과 유용성을 잘 분별할 수 있게 된다. 그리고 학문하는 진정한 태도를 갖출 수 있게 된다. 학문의 원리, 구조, 한계를 알고 특정 학문에 필요 이상의 중요성을 두지 않고, 또 세상을 각자의 입장에서 표현하는 학문들 사이의 경계를 허무는 것. 학문의 실체를 정확히 아는 것만으로도 인간의 이성과 학문을 통해 굴러가는 이 세상 위에 올바르게 서있을 수 있게 된다.

긍정도 부정도 할 수 없는 증명 불가능한 명제라니 이게 도대체 어떤 의미일까?

예를 들어, 만약 어떤 사람이 '나는 거짓말쟁이다'라고 말했다고 하겠습니다. 이 말을 자세히 들여다보면, 진실이라고도, 거짓이라고도 할 수 없는 문장이라는 것을 알 수 있습니다. 왜냐하면 이 문장이 '진실'이라면, '거짓말쟁이가 진실을 말한 것'이 되고, '거짓말'이라면, '정직한 사람이 거짓말을 한 것'이 되기 때문입니다. 한 문장이 '진실'이 아니면서 동시에 '거짓'이 아닐 수 있는 것입니다. 또한 '나는 정직하다'와 같은 문장도 비슷합니다. 이 명제가 '진실'이라면 정직한 사람이 진실을 말한 것이고, '거짓'이라면 거짓말쟁이가 거짓을 말한 것이므로 한 문장이 '진실'이면서 동시에 '거짓'입니다. 이러한 자기 언급의 패러독스가 수학에서도 마찬가지로 발생합니다.

즉, 수학 이론에서 아무리 들여다보아도, 진실인지 거짓인지 증명도 반증도 불가능한 명제가 반드시 포함된다는 것입니다. 그리고 수학 이론에서 증명 불가능한 명제를 포함한다는 것은, 스스로의 체계가 옳다고 증명하는 것이 불가능하다는 결론에 다다릅니다. 

두 번째로 생각해 볼 것은 학문에서 '공리'라 불리우는 것입니다. 

공리가 너무나 자명해서 증명이 필요치 않은 명제라면, 유클리드 기하학의 제 5공준인 평행선 공준이 성립하지 않는다고 가정해도 모순이 일어나지 않는 이론 체계를 만들 수 있기 때문입니다. 유클리드의 평행선 공준이 성립하지 않는 상황은 리만, 푸앵카레 등에 의해 구면기하학, 쌍곡기하학 등으로 발전했습니다.

서로 상반된 공리를 가정하여도 모순이 없는 이론 체계를 만들 수 있습니다. 이것은 이론 체계의 '무모순성'이 공리의 '정당성'을 보장하지 않는다는 것을 의미합니다. 게다가 괴델의 불완전성정리는 '모순이 없어 보이는 이론 체계를 구축하여도 그 이론 체계의 모순이 없음을 자기 안에서 증명하는 것은 불가능하다'고 말하고 있습니다.

이것은 우리가 참이라고 약속한 공리 아래에서 다른 명제들의 참, 거짓을 판별할 수는 있지만, 정작 '공리가 옳은지 증명하는 것'은 불가능하는 것을 의미합니다. 우리가 어떤 명제를 '참'이라고 약속하기 전까지는 우리는 그것이 진실인지 거짓인지 알 수 없습니다.

세 번째로 생각해 볼 것은 루이스 캐럴의 패러독스 입니다.

<이상한 나라의 앨리스>의 작가인 루이스캐럴은 작품 안에서 '논리조차 공리에 지나지 않는다'고 서술하고 있는데, 내용은 다음과 같습니다.

전제1 A=B이다.

전제2 B=C이다.

-> 결론 A=C이다.

이것이 왜 패러독스인지 의아합니다. 너무나 당연하게 생각해오던 것이기 때문입니다.

하지만 루이스 캐럴은, '전제1'과 '전제2'에서 '결론 A=C'로 가는 아무런 필연성이 없다고 말하며, 필연성이 없는 상태에서 '결론 A=C'를 도출하기 위해서는 '전제1'과 '전제2'가 올바르다면 A=C가 성립한다'는 약속이 필요하다고 말합니다. 결국 우리가 생각하는 'A=B이고 B=C이면, A=C이다'라는 논리도, 약속이라는 사실입니다.

'A=B이고 B=C이면, A=C' 일 아무 필연성이 없다는 것이, 유클리드가 제1공리로 'A=B, A=C이면 B=C이다', '동일한 것의 같은 것은 서로 같다.'를 채택한 이유이기도 합니다.

토마스 쿤이 말한 "과학혁명은 과학을 진보시켜 주지만, 진리에 다가설 수는 없다." 는 말을 생각해보게 됩니다.

학문의 유용성과 정밀성이 높아질 수 있더라도 진실에 도달하는 일은 불가능하다고 하더라도, 이렇게 학문의 한계를 올바로 알고, 유용함으로 접근할 때 우리는 또 다른 가능성을 볼 수 있게 될 수 있을 것입니다.

by Hakuna

일반적으로 사람들은 수학적 증명이란 더 이상의 토론의 여지가 없고, 절대적으로 옳은 영원불변의 진리라 여긴다. 하지만 '괴델'의 '불완전성 정리'는 수학뿐만 아니라 일반 이론 체계가 결코 완전하지 않으며 진리에 도달할 수 없다는 것을 증명했다.

'괴델'의 불완전성의 정리는 '어느 모순이 없는 이론 체계 안에 긍정도 부정도 할 수 없는 증명 불가능한 명제(공리)가 반드시 포함되어 있으므로 그 이론 체계는 자기 자신에게 모순이 없다는 것을 그 안에서 증명할 수 없다'라는 것이 요지이다. 즉 모든 학문과 이론 체계는 증명할 수 없는 인간의 약속인 '공리'로부터 세워지므로 인간의 논리로 삶의 절대적인 원리와 진리를 절대로 알 수 없다는 것이다.

우리가 '학문' ,'이론체계'라고 부르는 것은 단지 진실성 여부를 알 수 없는 공리로부터 아무런 모순 없이 그동안 잘 발전해온 것일 뿐이며, 우리는 그것을 '학문의 완성'이라 부르고' 학문적 토대를 갖췄다'라고 여길 뿐이다.

한편, 'The Scientific Study'라고 하는 '분석적 연구 방법'은 대부분의 이론 체계가 만들어지기 위해 사용되는 연구 방법이다. 그것은 '현상 관찰 → 현상 관찰의 정리 → 가설 설정 → 가설의 증명 과정에서 가설을 수정하고 새로운 가설(제약조건, 전제)로 보완 → 이론, 규칙 정립' 의과정을 거친다.

하지만 가설이 증명되어 이론으로 정립되는 것으로 끝이 아니다. 그 가설(전제조건,제약조건) 내에서 반증사례가 있는지 없는지 계속 탐구 해야하며, 만약 전제조건 내에서 반증 사례가 나타난다면 다시 가설을 수정하고 보완한다. 다시 말해 인간의 이론과 학문 체계는 그 자체로 완벽한 것이 아니라 여전히 건설적인 비판과 의심의 여지가 존재하고, 그것을 해결하는 과정에서 계속 점진적으로 발전해 나가는 것이다.

'괴델의 불완전성 정리'와 '분석적 연구 방법'을 이해해 보면, 인간의 논리로 세워진 모든 학문과 이론체계로는 절대적인 것을 알 수 없으며, 언제든지 수정되고 폐기될 수 있고 또한 새로운 가설로써 보완될 수도 있음을 알 수 있다.

이러한 사실이 인간에게 주는 교훈은 인간의 학문으로는 절대적인 진리와 같은 것을 알 수 없으니 회의주의적인 태도로 일관하자라는 것이 아니다. 인간은 학문과 이론 체계로부터 세상을 이해하고 그것으로부터 유용성을 얻는 존재이다. 그렇기 때문에 우리가 위와 같은 사실로부터 지녀야 할 태도는 올바른 '학자적 태도'이다.

올바른 '학자적 태도'란 우선 '열린 태도'일 것이다. 학문이 불완전하다는 것을 이해한 사람은 절대로 자신이 공부한 한정된 학문만을 가지고 세상을 해석하려 하지 않을 것이다. 기존에 알 수 없던 것들을 설명해 준다거나, 이미 정립된 학문을 더욱 보강시키거나 혹은 위협하는 새로운 학문들에 대해 열린 자세로 탐구해볼 것이다. 이러한 태도는 내 생각과 다른 것을 감정적으로 배척해버리는 흑백논리와 같은 태도와는 완전히 다른 것이다.

또한 더욱 중요한 태도는 논리적 오류에 빠지지 않고 진정성 있게 학문을 탐구하고 실험하는 태도이다. 대부분의 이론체계는 덧셈, 뺄셈과 같이 간단하고 단순한 원리만으로 세워진 것이 아니다. 그렇기 때문에 학문을 실제 삶에 적용하여 유용성을 얻으려면 그 학문이 성립되는 배경에 대해 면밀히 분석하여 제대로 이해해야 한다. 즉 그 학문에 어떠한 개념들이 사용됐는지, 이론 체계가 현실에 적용되려면 어떠한 제약조건을 지켜야 하는지 제대로 탐구해야 한다는 것이다.

그다음 필요한 것이 공부한 학문을 현실에서 진지하게 실험해 보는 것이다. 학문이 성립되기 위한 조건들을 모두 고려하면서 진지한 실험을 했을 때 만약 현실에서 적용되지 않는다면, 자신이 실험 과정에서 잘못 한 것은 없는지 혹은 학문의 제약조건 중에 타당하지 않은 것이나 추가되어야 할 조건은 없는지 다시 탐구해 봐야 한다. 그런 다음 그 학문에 대해 오직 '건설적 비판'이 존재할 뿐이지, 자신의 실험에서 성립되지 않는다는 이유로 감정적으로 배척해버리는 것은 올바른 학문적 태도가 아니다. 학문은 위에서 밝힌 대로 '건설적 비판'을 통해 계속 발전해 나가는 과정에 있는 것일 뿐이다.

만약 우리 모두가 학문의 구조와 원리를 제대로 파악하고 학문적으로 올바르게 사고하는 법을 통해, 어떠한 학문적 도구들이 진짜인지 아닌지 또한 우리에게 실용적인지 아니면 우리를 퇴보하게 만드는지 분별할 수 있다면 우리의 삶의 질이 전체적으로 바뀔 것이다. 왜냐하면 다시 한번 말하지만 인간은 학문을 통해 세상을 해석하고, 학문에 의해 유용성을 얻으며 살아가고 있기 때문이다.

by Elizabeth Taylor P

수학 이론에는 모순이 일체 없고 어떤 문제라도 진위의 판정이 가능하다는 수학자들의 주장에 대해, 또 다른 수학자 괴델이라는 사람이 '우리 이성으로 만들어낸 이론체계가 진리에 도달하는 일은 결코 없다', '우리는 어떻게 해도 수학이 완전한 것이라는 것을 증명할 수 없다' 는 것을 수학적으로 증명해 냈다.(불완전성 정리) 수학자인 괴델이 수학이 완벽하지 않다는 것을 인정하고 공표한 것이다! 이를 통해 괴델이 자신이 몸담고 있는 수학이라는 학문에 자유로움을 선사했다.

기존에 증명된 이론이 모든 것이 아니라는 것을 인정하고, 기존의 이론을 토대로 증명하려다 생긴 모순을 그대로 받아들임으로써 엄청난 자유로움을 얻은 또 다른 예가 '양자역학'이다. '이중 슬릿'을 이용한 몇 가지 실험 결과, '빛은 입자이기도 하고 파동이기도 하다?!', '심지어 빛뿐만이 아니라 실제 입자라고 알려진 전자도 입자이기도 하지만 파동이기도 하다.'는 결론을 얻었다. '어떻게 그럴 수가 있지? 말도 안 돼! 그건 모순이야!' 였다면 '양자역학'이라는 학문은 생겨나지 않았을 것이다. '실험 중 어느 단계가 잘못된 걸까' 하는 생각에 갇혀 영원히 그 실험만 하다 아무것도 밝히지 못하고 있었을 것이다. '그게 말도 안되는 모순이라는 걸 증명할 수는 없지 않느냐'를 인정했으니 물리학의 큰 축을 형성하는 하나의 이론이 된 것이다. 물리학 뿐만 아니라 여태껏 풀리지 않았던 많은 분야의 의문들이 양자이론으로 설명을 할 수 있게 되었다.

모순이라고 우기지만 않는다면, 양자이론은 어떻게 보면 당연한 말을 한다. 양자이론을 쉽게 말하면 '보이는 것인데, 보이지 않기도 한다'는 말이다. 논리에 맞지 않는 것처럼 보인다. 그런데 맞는 말이 아닌가? 지금 내 눈에 보이는 이 컴퓨터는 내가 보지 않을 땐 보이지 않는다. 관측할 때는 물질이고 관측하지 않을 땐 '가능성의 모든 종합체' 인 것이다. 정말 간단하면서도 명쾌하지 않은가?! (뭐, '보고 있지 않아도 나는 볼 수 있다' 한다면, 답 없다.)

각 학분 분야의 밑바탕이 되는 '공리'라는 것은 굳이 증명하지 않고도 '이건 어쩔 수 없다, 일단 이렇다고 해두자' 하고 약속해둔 전제 조건이고, 그러한 공리를 토대로 논리적으로 정리되는 것이 이론이다. 그리고 나 자신도 이처럼, 내가 보고 듣고 경험한 '기억'이라는 공리를 토대로 또 보고 듣고 경험하고 받아들이며 살고 있다. 현재 바탕에 깔려있는 공리를 부정할 수도 없고, 잘못되었다고 할 수 없고, 완전히 바꿀 수도 없다. 하지만 공리는 증명된 것이 아니다. 따라서 학문은 완벽하지 않고, 나의 기억 또한 전부가 아니며, 진리가 아니다. '그 아무 것도 모순이 없고, 완벽하다고 할 수 없다'라는 것이 진리다. 이것이 진리라는 것을 받아들이고 인정하는 순간, 학문은 다른 새로운 공리를 받아들이고 통합하여 더 커다란 세상을 설명할 수 있는 학문이 될 수 있고, 나는 한층 더 넒은 세상을 살 수 있는 자유로움을 얻게 된다.

각 계의 내부에서 세워진 공리가 완벽하며 그것이 전부라고 단정 짓는 순간, '순환논리'라는 함정에 빠져 꽁꽁 갇힌 '닫힌 계'가 되어버린다. 다른 이론은 들어보려고도 하지 않게 되는 꽉 막힌 고지식한 학자들로 뭉친 학계가 되기도 하고, 나의 기억을 나만의 틀로 만들어 그 안에서 꼼짝도 못하게 되는 개인이 되기도 할 것이다. 스스로 만든 틀안에 갇혀 그 안에서 돌고 돌며 헤어 나올 수 없는 우물 안을 살 것이냐, 지금까지의 나 자신을 토대로 삼되, 조금 어렵더라도, 스스로 '열린 계'가 되어 더 많은 것을 배우고, 경험하고, 받아들이며 점점 자신의 세상을 펼쳐가며 살 것이냐 하는 것은 자기 선택이다! 멋지고 아름다운 삶은 결국 자기 하기 나름인듯하다.

by illy

언어, 공리, 논리, 학문은 인간의 삶에 지대한 영향을 끼치고 엄청난 유용성을 가져다준다. 우리는 언어, 공리, 논리, 학문으로 쌓여진 세계 위에서 살아가며 보다 더 잘 살아가기 위해 이 세상을 이해하기 위해서 언어, 공리, 논리, 학문을 점검할 필요성이 있다. 인간이 다른 인간들과 상호작용하며 살아가는 사회 속에서 언어는 필연적 의사소통 도구이다. 우리가 어떠한 주장을 하며 자신의 존재를 세상에 드러낼 때, 그 안에는 개인이 자명하게 전제하는 공리가 존재한다. 분별력이 떨어지는 개인은 자신이 전제하는 공리가 어디에서 어떻게 주입되었는지 모른다. 그러나 설령 자신이 공리를 안다고 할지라도 공리의 본질을 이해하지 못하면 이 세상이 단지 공리로 이루어진 Maya라는 것을, Illusion이라는 것을 이해할 수가 없다.

나는 10대 때 의무교육을 받으면서, 점·선·면이 이 세상에 실재하는 것이라고 자명하게 받아들였으며 증명조차 필요 없는 진리라 받아들였다. 수많은 학자들조차도 비유클리드 기하학이 나오기 전까지는 유클리드 기하학을 진리로 여기려 했다. 공리라는 것이 자명함에도 그들이 믿고 있는 세계가 Maya라는 것을 인정할 수 없어서였을까? 그러나 가우스에 의해 유클리드 기하학 5번째 평행선 공리를 ‘평행선도 교차한다’는 공리로 변화시켜 새로운 기하학 체계인 비유클리드 기하학이 탄생되었을 때 유클리드 기하학은 하나의 Maya에 불과하다는 것이 밝혀졌다. 심지어 비유클리드 기하학이 현대 물리학의 주축인 상대성 이론의 공간 곡률 발견에 영향을 미침으로서 유용성이 측면도 부각된 것은 더욱 큰 충격 이였다. 

그렇다면 공리 위의 이론 체계 안에서만이라도 완전한 체계를 갖출 수 있을까? 괴델의 불완전성 정리에 따르면 반드시 증명도 반증도 불가능한 명제가 이론 체계 안에 존재하게 되며, 이로 인해 완전한 체계를 구축하기 위한 이론 체계 내에서의 증명은 불가능함을 알 수 있다. 쉽게 말해 이성을 통해 만들어낸 그 어떤 이론 체계도 진리에 도달할 수 없다는 것이다. 

그래서 우리는 공리는 단지 약속에 불과하다는 것을, 그리고 어떠한 학문도 완벽한 진리에 다가갈 수 없음을 알게 되었다. 우리는 이러한 사실을 인정하고 현실을 살아갈 때 봉착하게 되는 또 하나의 재밌는 현상을 목격하게 된다. 인간 간의 상호작용에 의해 필연적으로 대칭성이 깨졌을 때, 문제가 발생한다. 우리는 그러한 문제를 해결하기 위해 나름의 논리를 전개하며 자신의 의견을 상대방에게 관철시키려 한다. 그래서 흔히 말하기를 “당신은 논리적이지 않아”라는 말을 많이 들을 수 있다. 이것은 진실인가?

사실 논리도 공리와 같이 약속의 산물일 뿐이다. 우리가 흔히 알고 있는 ‘인간은 죽는다’, ‘소크라테스는 사람이다’라는 두 전제에 기반 했을 때, ‘소크라테스는 죽는다’는 논리적 귀결을 자명한 진실로 받아들인다. 그러나 ‘소크라테스는 죽는다’는 결론이 도출되기 위해서 필연적으로 ‘인간은 죽는다’, ‘소크라테스는 사람이다’라는 두 명제가 옳다는 조건이 붙어야 한다. 즉, 저 두 전제로 하나의 결론이 귀결되는 논리적 Process는 결코 합리적이라 볼 수 없는 것이다. 다만 우리가 그렇다고 약속했을 뿐이다. 만약 두 명제가 옳다는 조건이 붙는다 하더라도 ‘소크라테스는 죽는다’는 명제가 자명하진 않다. 왜 그럴까? 뻔하지 않는가?

따라서 우리가 자신이 논리적인 사람이고 자신의 의견만이 옳다고 생각하는 것은 정말로 진심으로 완전히 환상이다. 그렇다고 논리성이 무의미함을 강조하는 회의론자가 되자는 것은 아니다. 다만 우리가 최대한 모든 상황을 고려하고 사고의 논리 Process를 점검하고 또 점검하더라도 애초에 완벽한 논리적 입장은 존재하지 않는다는 것을 알고 있어야 한다는 것이다. 그렇지 않을 경우, 쉽게 해결될 수 있는 문제들이 오히려 더 크게 확산되는 경우가 벌어지게 되고 해결 가능성이 없는 곳에 시간과 에너지를 쏟게 되는 비효율성을 초래하게 된다.

사실 언어라는 것이야말로 우리가 환상 위에서 살아가게 하는 가장 큰 이유가 아닐까? 우리가 지각하고 인식하는 그 모든 것에 대해 언어로서 지칭하는 행위 자체가 이미 약속의 시작이다. 우리가 어떠한 대상을 지칭하고 그것에 의미를 부여하는 행위 자체가 이미 하나의 세상을 창조하고 있는 것이다. 그 세상이 진리일 수는 없다. 다만 세상을 바라보는 하나의 우주관, 세계관을 창조할 뿐이다. 어떠한 것도 100% 완벽한 진실 된 개념적 정의가 불가능하다. 다만 다수의 사람들이 이렇게 개념적 정의를 하자고 약속하는 것뿐이다. 하지만 그렇다 하더라도 현실적으로 이 세상 모든 사람이 어떤 대상에 대해 개념적 정의를 공유할 수 있을까? 당연히 불가능하다. 심지어 우리는 서로 만나서 같은 단어를 사용하면서도 서로 다른 개념적 정의를 가지고 있고, 서로 다른 이야기하면서 소통을 한다. 우리는 다만 서로가 믿고 있는 개념적 정의에 의해 소통하고 있을 뿐이다. 정말 웃기지 않은가?!! 그래서 Business나 협상에서 가장 중요한 것이 바로 서로의 교집합을 형성하는 것이다. 우리가 같은 개념적 정의에 기초하여 같은 것을 이해하고 있는지 그 이해의 폭을 최대한 좁히기 위해 계약을 하고 약속을 하는 것이다.

지금까지 언어, 공리, 논리, 학문에 대해 이야기해왔다. 이쯤 되면 우리는 인정해야 한다. 아 이 글을 보고 있는 당신과 이 글을 쓰고 있는 나는 서로 다른 세상에서 살고 있다는 것을 말이다. 현실에서 수많은 사람과의 소통, 내면의 감정, 예상치 못한 상황 전개 등 인간이 통제할 수도 없고, 고려할 수 없는 수많은 변수들이 겹치게 되면 지금까지 논의했던 모든 내용들이 무의미해지는 상황은 수도 없이 발생하게 된다. 우리가 이러한 지식을 접하고 수용하더라도 현실에 적용하는 것은 너무나 어렵다. 그렇기 때문에, 반복하고 또 반복하고 자각하고 또 자각하는 시행착오를 거쳐야만 한다. 우리는 Maya에 살고 있다. 이 세상은 진실이 아니다. 당신은 진실 된 세상에 살고 있다 생각하는가? 정신 차려라.

by Ocean

어떤 이론이 수학적으로 증명되었다면 항상 올바르다고 할 수 있을까? 수학계의 거장 힐베르트는 '수학 이론에 모순은 일체 없고 어떤 문제라도 진위의 판정이 가능하다는 것'을 완전히 증명하고자 했지만 괴델이 '수학이론은 불완전하며 결코 완전해질 수 없을 것'이라고 수학적으로 증명해 버렸다. 어떤 이론 체계에도 증명 불가능한 명제가 반드시 존재하고, 그 이론 체계에 모순이 없음을 그 이론 체계 안에서 결코 증명할 수 없으며, 결국 자기 자신으로 완결하는 이론 체계는 구조적으로 있을 수 없기 때문이다. 이것이 괴델의 불완전성정리이다. 요컨대 수학이론에서 증명도 반증도 불가능한 명제가 포함되어 있고, 수학 이론에서 증명 불가능한 명제를 포함한다는 것은 스스로의 체계가 옳다고 증명하는 것이 불가능하다는 결론이 나오기 때문이다. 

수학, 철학을 비롯한 모든 학문은 일정한 공리를 토대로 논리적으로 짜여 체계화된다. 어떤 이론 체계에도 반드시 처음에 공리가 존재하지 않으면 안 된다. 증명은 불가능하지만 올바르다고 하는 암묵적인 이해가 공리의 시작이다. 우리가 아무리 공리를 선택하고 모순이 없어 보이는 이론 체계를 구축한다고 해도 그 이론 체계에 모순이 없음을 자기 안에서 증명하는 것은 불가능하다. 그러므로 선택한 공리가 정말 옳은지 증명하는 것은 절대 불가능하다. 우리가 흔히 사용하는 논리라는 것도 암묵적 이해에 의해 성립된다. 이것 또한 증명 불가능한 전제 중의 하나로 본질적으로 공리와 마찬가지이다. 논리도 약속, 공리도 약속이다. 뉴턴의 방정식에서 '중력은 물체 간의 거리의 제곱에 반비례한다'라는 식을, 왜 그렇게 되는가에 대한 이론적인 설명도 없는데 물리학의 기초로 삼고 있다. 

또한 '나는 인간이다'라는 얼핏 올바른 것처럼 보이는 말조차, 객관적인 근거를 갖지 못한 채 그것이 옳다고 하는 전통적, 문화적 룰에 의한 것이다. 어떤 말의 근거를 아무리 설명해도 그것조차 근거 없는 룰을 토대로 서술한 것에 지나지 않는다. 말을 사용해 논리적으로 뭔가를 서술했다고 해도 그 올바름의 근거는 결국 '이건, 이래'라고 정한 것이다. 

결국 수학적으로, 과학적으로 논리적이게 설명되었더라도 모든 이론은 불완전하며, 완전한 이론은 없다. 이론의 정당성을 결정하는 절대적인 기준은 없으며 그나마 가질 수 있는 타당한 기준은 '인간에게 도움이 되는 지식인가 아닌가.' 뿐이다. 우리가 공부를 한다는 건 많은 사람들이 약속한 것을 배우는 것일 뿐 우리의 논리적 사고로 진리에 도달하는 일은 결코 없다. 학문은 진실을 밝히는 것이 목적이 아니라 '실용성'에 있다.

by Miranda